FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y RESPUESTA EN FRECUENCIA: enero 2015

Función de Transferencia y Respuesta en Frecuencia

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y

RESPUESTA EN FRECUENCIA

Respuesta en Frecuencia

Respuesta en Frecuencia La respuesta de frecuencia es una característica de un sistema que tiene una respuesta medida que es el resultado de una entrada conocida aplicada. En el caso de una estructura mecánica, la respuesta de frecuencia es el espectro de la vibración de la estructura, dividido entre el espectro de la fuerza de entrada al sistema. Para medir la respuesta de frecuencia de un sistema mecánico, hay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta de vibración .Esto se hace más fácilmente con un analizadorTRF.Las mediciones de respuesta de frecuencia se usan mucho en el análisis modal de sistemas mecánicos. La función de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una manera de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la función es de resolver la porción de fase en dos componentes ortogonales, una parte en fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada la parte imaginaria o parte de la cuadratura). Bode Un diagrama de Bode consta de dos gráficas, una para la amplitud de salida y otra para el desfase de salida. Se los denominará respectivamente diagrama de ganancias y diagrama de fases. Los dos diagramas representan las frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas empleando rad/s. El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases representa en el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.

Trazas de Bode

Las representaciones gráficas del módulo y del argumento en función de la pulsación. Otro tipo de gráficas que son muy útiles son los diagramas de Bode en los que se usan escalas logarítmicas en

y en ω. Estos diagramas tienen la misma información, pero son más sencillos de escribir, ya que se pueden aproximar mediante líneas rectas.

Si tenemos la magnitud:

Tomaremos logaritmos neperianos con el fin de acabar con los exponentes de forma que tendremos:

Pasos para Construir el Diagrama de

Bode

Pasos para Construir el Diagrama de Bode En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la función y por otro la fase . La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro paso baja de primer orden. el Diagrama de bode de un filtro paso baja de primer orden A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es una escala logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas se emplean cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios órdenes de magnitud las frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se representarían en la centésima parte del eje de abscisas.

módulo de la función de transferencia empleando una escala lineal en el eje de frecuencias Para evitar este problema se usan las escalas logarítmicas, que permiten representar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de magnitud, separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posición del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos: De este modo, el orden de magnitud (D) establece un desplazamiento,separando una década (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los puntos correspondientes a un mismo orden de magnitud (década) tienen el mismo espacio para ser representados que los pertenecientes a una década superior. se indica dónde se ubicarían en un eje logarítmico los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

Debido a las escalas empleadas en los diagramas de Bode, éstos pueden ser construidos en forma aproximada mediante trazos rectos. La figura C.1 muestra los diagramas de Bode aproximados para funciones sencillas de orden 1.La figura C.2 muestra los diagramas de bode para funciones de orden 2; en estos casos, las aproximaciones pueden ser bastante lejanas de los diagramas exactos, dependiendo del factor de amortiguamiento $ \xi$. Por esta razón se han trazado los diagramas exactos para una función de segundo orden (para el primer caso de la figura C.2), en las figuras C.3 y C.4

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/bode/bode_resumen_primer} }\end{center}$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/bode/bode_resumen_segundo} }\end{center}$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/bode/bodemag} }\end{center}$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/bode/bodefase} }\end{center}$

Para funciones de transferencia más sofisticadas que las de las figuras C.1 y C.2 se descompone la función de trasferencia

como productos de términos más sencillas, se trazan los diagramas de bode estas de funciones y luego se suman punto a

punto para obtener los diagramas de la función original

Interpretación / ejemplo

Ejemplo A.1 Considérese la función de transferencia

$\displaystyle F(s)=\frac{(s+10)}{(s+1)(s+100)}$

Esta función puede descomponerse como el producto de cuatro funciones de transfenecia más sencillas:

$\displaystyle F(s)= \underbrace{\frac{s+10}{10}}_{F_A(s)} \underbrace{\frac{1}{... ...s)} \underbrace{\frac{100}{s+100}}_{F_C(s)} \underbrace{\frac{1}{10}}_{F_D(s)}$

Cada una de las funciones , , y son de la forma que se muestra en las figuras C.1 y C.2. Pueden trazarse los diagramas de bode aproximados de estas funciones, y luego sumarlos punto a punto para obtener

los diagramas de

Estimar la estabilidad de un sistema de control automático cuya función de transferencia de lazo abierto
es:
GH = 9
(10s + 1)3
Solución
Para determinar si el lazo de control es estable se puede utilizar el criterio de Routh. La
ecuación característica de este sistema es:
1 + GH = 0
1 + 9
(10s + 1)3 = 0
1000s3 + 300s2 + 30s + 10 = 0
La matríz de Routh es:
1000 30
300 10
− 3.33

La primera columna tiene un signo negativo, lo que implica que es sistema es inestable.

Análisis de Estabilidad utilizando el

Diagrama de Bode

Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada,independientemente de cual fuese su estado inicial.La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del controlador.Tal como se ha visto en los temas anteriores la respuesta de bucle cerrado para un sistema de control generalizado es:

y = Gc Gp Gf

1 + Gc Gp Gf Gm

ysp + Gd

1 + Gc Gp Gf Gmd

lunes, 26 de enero de 2015